PROBLEMAS CON BILLETES:
Materiales:
Un juego de billetes de fantasía para cada alumno.
Monedas de $1; billetes de $10; de $100; de $1.000 (veinte de cada
uno).
Nueve cheques de fantasía cada cuatro alumnos (los cheques serán
completados por el maestro).
Organización del juego: con algún adulto, o con tus hermanos.
Descripción general del juego: Que los niños progresen en la comprensión
del sistema de numeración decimal no significa solamente que estén en
condiciones de aumentar el rango de números con los que trabajan, sino
también que puedan profundizar el análisis de las relaciones aritméticas
subyacentes a la escritura de un número. Por esta razón, resulta interesante
proponerles situaciones que les permitan conceptualizar el sistema,
comprendiendo la organización recursiva de los agrupamientos, el rol de la
base y el valor posicional. El contexto del dinero es especialmente favorable
ya que, al ser conocido por los niños, aporta informaciones que tal vez no
estarían en condiciones de utilizar, tratando con los números fuera de
contexto. Se espera que haya un interjuego entre el contexto y el sistema de
numeración de modo tal que, apoyándose en el primero, se establezcan
relaciones sobre el segundo.
Primera parte:
Primer momento: el cajero paga los cheques En cada grupo, uno de los niños hace de
cajero y posee todos los billetes de ese grupo. El maestro entrega a cada uno de los tres
niños restantes, tres cheques ya completos con un número de tres cifras y les pide que
cada uno anote el monto de sus cheques y que, por turnos, los cambien en el banco. Los
alumnos anotan el importe de los cheques y los cambian de a uno por vez, requiriendo así
de tres rondas para que cada uno llegue a cambiar sus tres cheques. Así, cada niño del
grupo cambiará un cheque en la primera ronda, otro en la segunda, etcétera. Cuando
hayan finalizado el maestro deberá preguntar cuánto dinero ha reunido cada alumno del
grupo. Es de esperar que para averiguar la cantidad de dinero que poseen, los niños:
• Agrupen los billetes según su valor, cuenten cuántos billetes de cada clase tienen y luego
sumen esas cantidades. Si los alumnos ponen en juego esta estrategia, será conveniente
pedirles que anoten la cantidad de billetes de cada clase que tienen, para luego usar estos
datos como recurso de control.
• Sumen directamente los números de los cheques. En la puesta en común, el maestro
deberá chequear si está claro para todos los alumnos que ambas estrategias son válidas y
conducen al mismo resultado. Si los alumnos no estuvieran convencidos de ello, deberá
hacer notar que si se reagrupan las cantidades de los billetes, la suma que surge de la
primera estrategia puede transformarse en la que corresponde a la segunda. En otros
términos, se trata siempre del mismo total (total de billetes, total de importes de los
cheques), compuesto de maneras diferentes.
Segundo momento: el cajero sólo paga con la menor cantidad posible de billetes Cada
niño tiene ahora su juego de billetes y el maestro le propone que completen de manera
individual, una tabla como la siguiente, teniendo en cuenta la restricción de pagar con la
menor cantidad posible de billetes:
Es posible que, para completar el cuadro, algunos niños realicen efectivamente el canje y
compongan la cantidad con los billetes, o utilicen esa estrategia al menos para los
números de las primeras filas.
Otros alumnos, seguramente, no necesitarán emplear los billetes. En este punto se
espera que los niños puedan realizar formulaciones del tipo: “no hace falta usar los
billetes, te alcanza con mirar el número”, “el número te dice cuántos de cada uno”, “este
te dice cuántos de mil; este, cuántos de cien”, etcétera. Si este tipo de expresiones no
aparecieran y las estrategias estuvieran centradas en la composición con los billetes, el
maestro puede: a) Agregar nuevos importes de cheques en la columna de la izquierda (no
es necesario darles nuevos cheques a los niños), de modo tal que aparezca cierta
regularidad en la descomposición al completar el cuadro. Por ejemplo, si se agregaran
diversos importes con cero en alguna de sus cifras intermedias ($3.048; $2.308, etc.),
podría analizarse por qué no es Segunda parte necesario solicitar billetes de determinado
valor o, para esos mismos importes, si hay alguna relación entre los tres billetes de mil o
de cien y los tres que aparecen escritos en el cheque. b) Colocar números cuyas cifras sean
nueve o cercanas a nueve, de modo tal de hacer fatigosa la composición. Por ejemplo:
$6.898, $3.989. c) Solicitar a los alumnos que, en grupos de a tres, se pongan de acuerdo
para pedirle de una sola vez al maestro –que hará de cajero de cada grupo– la cantidad
necesaria de billetes de cada tipo para pagar un determinado cheque propuesto por el
docente.
Segunda parte
A través de la siguiente actividad, se propone profundizar en las relaciones de valor entre
posiciones contiguas de una escritura numérica. En la situación anterior fue posible
analizar con los alumnos que en nuestro sistema de numeración el valor de las decenas
representa 10 unidades, el de las centenas, 100, etc. Sin embargo, los alumnos no
tuvieron aún la oportunidad de poner en juego las relaciones entre las diferentes
posiciones: 1 de 1.000 es 10 de 100; 1 de 100 equivale a 10 de 10, etc. La relación entre
estas últimas expresiones y la multiplicación (decir que 10 de 10 es 100 equivale a decir
que 10 × 10 = 100) no es evidente para los niños, y será objeto de trabajo explícito en las
actividades siguientes. Se retoma la situación del cajero: sigue pagando con la menor
cantidad posible de billetes, pero algunos billetes se acabaron. En esta actividad,
nuevamente los niños deben completar un cuadro, pero no pueden utilizarse billetes de
$1.000.
Problemas que remiten al juego
1. A un señor le pagaron con tres billetes de $1.000, nueve billetes de
$100 y cuatro billetes de $1. ¿Qué cantidad de dinero recibió?
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2. Un señor tiene que recibir $1.500. ¿Alcanzan 15 billetes de $10 para
pagarle? ¿Y 200 billetes de 10? ¿Cuántos billetes de 10 se necesitan
para pagarle?
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3. Un señor recibió un cheque de $1.240 y pidió que se lo paguen en
billetes de $10. ¿Cuántos billetes deberá darle el cajero?
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4. El cajero del banco tiene que pagar un cheque de $750 y solo tiene 3
billetes de $100 y el resto de $10. ¿Cómo podrá formar esa
cantidad?...................................................................................................
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5. A un señor le pagaron con tres billetes de $1.000, doce billetes de
$100, diez billetes de $10 y tres billetes de $1. ¿Qué cantidad de dinero
recibió en total?
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6. . Martín y Claudio, están pensando cómo juntar $2.845 con la menor
cantidad posible de billetes de $1.000, $100, $10 y $1.
a) Martín no entiende lo que escribió Claudio. ¿Cómo se lo explicarías?
b) Si tuvieran que juntar $4.537, ¿cómo escribiría Martín su respuesta?
¿Y Claudio?
c) ¿Cómo juntarías vos $2.363 con la menor cantidad posible de
billetes de $1.000, $100, $10 y $1? Respondé “al estilo Claudio”.
7 . Carlos tiene que juntar $3.875 con la menor cantidad posible de billetes de $1.000,
$100, $10 y $1. Él utiliza este procedimiento:
7 × 10
8 × 1
A partir de estas cuentas, ¿es posible saber qué cantidad de billetes
utilizó? ¿En qué parte de las cuentas está escrito?---------------------------------
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9. Carla dice que con solo mirar el número que indica cuánto debe pagar
se da cuenta de cuántos billetes de $1, $10, $100 y $1.000 va a utilizar.
Por ejemplo, si la cantidad es $5.429, ella sabe que son 5 de $1.000; 4 de
$100; 2 de $10 y 9 de $1.
Es decir, que en total son 20 billetes. Si la cantidad a pagar fuera $1.002
¿Cuántos billetes serían necesarios? ……………………………………………………
¿Y si fuera $9.090?.......................................................................................
10. ¿Cuál de los dos procedimientos que te presentamos te permiten
encontrar la respuesta del siguiente problema? Decidí, y si te hace
falta, luego comprobá con la calculadora realizando todas las cuentas:
El cajero de un banco tiene que pagar $7.453 con la menor cantidad
posible de billetes de $1; $10; $100 y $1.000.
siguientes cuentas. ¿Es posible saber cuánto había pagado en cada
caso, sin hacer ninguna cuenta?
Para pagarle a la Sra. Martínez:
3 × 1.000
2 × 100
9 × 10
Para pagarle al Sr. Gómez:
9 × 1
3 × 100
4 × 10
6 × 1.000
12. El cajero del banco tiene que pagar un cheque de $750 y solo tiene 5
billetes de $100, 3 de $10 y el resto de $1. ¿Cómo podrá formar esa
cantidad?
13. A un señor le pagaron con tres billetes de $1.000, doce billetes de
$100, diez billetes de $10 y tres billetes de $1. ¿Qué cantidad de dinero
recibió en total?
14. ¿Es posible formar $3.452 utilizando solo billetes de $100 y de
$10? ¿Y formar 6.430 con los mismos billetes?
